a: PTHĐGĐ là;

x^2-(2m-3)x+m^2-3m=0

Δ=4m^2-12m+9-4m^2+12m=9>0

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm pb

b: |x1|+|x2|=3

=>x1^2+x2^2+2|x1x2|=9

=>(2m-3)^2-2(m^2-3m)+2|m^2-3m|=9

TH1: m>=3 hoặc m<=0

=>(2m-3)^2=9

=>m=3(nhận) hoặc m=0(nhận)

Th2: 0<m<3

=>4m^2-12m+9-4(m^2-3m)=9

=>4m^2-12m-4m^2+12m=0

=>0m=0(luôn đúng)

- Xét phương trình hoành độ giao điểm : \(x^2=2mx-2m+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+2m-3=0\left(I\right)\)

- Xét thấy để P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi PT ( I ) có hai nghiệm phân biệt .

\(\Leftrightarrow\Delta^,=b^{,2}-ac=m^2-\left(2m-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+3>0\)

Mà \(m^2-2m+3=m^2-2m+1+2=\left(m+1\right)^2+2\ge2>0\forall m\in R\)

Vậy ... ĐPCM

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-3x-m^2+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\left(-m^2+1\right)=4m^2-4+9=4m^2+5>0\)

Do đó: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

- x 2  = 2mx - 5 ⇔  x 2  + 2mx - 5 = 0

Δ'= m 2 + 5 > 0 với ∀m ∈ R

Vậy trên mặt phẳng Oxy đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Khi m = 2, phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

- x 2 = 4x - 5 ⇔ x 2  + 4x - 5 = 0

Δ = 4 2  - 4.1.(-5) = 36

⇒ Phương trình có 2 nghiệm

Vậy tọa độ hai giao điểm là M(1;-1) và N(-5;-25)

a) pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx-8=0\)

\(ac=1.-8=-8< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-8\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1x_2=-8< 0\Rightarrow x_1,x_2\) trái dấu

Ta có: \(x_1+\sqrt{x_2}=0\Rightarrow x_1=-\sqrt{x_2}< 0\Rightarrow x_2>0\)

Thế vào (2):\(-x_2\sqrt{x_2}=-8\Rightarrow x_2\sqrt{x_2}=8\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_2}\right)^3=8\)

\(\Rightarrow\sqrt{x_2}=2\Rightarrow x_2=4\Rightarrow x_1=-2\Rightarrow x_1+x_2=2=m\)